有限数学示例

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

解题步骤 1

要将 $\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2 x - 3}{x - 3}$

解题步骤 2

要将 $- \frac{2 x - 3}{x - 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ 。

$\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{2 x - 3}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x^{2} - 9) (x - 3)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{4 x - 3}{x^{2} - 9}$ 乘以 $\frac{x - 3}{x - 3}$ 。

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} - \frac{2 x - 3}{x - 3} \cdot \frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{2 x - 3}{x - 3}$ 乘以 $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 9}$ 。

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x^{2} - 9) (x - 3)} - \frac{(2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(x^{2} - 9) (x - 3)$ 的因式。

$\frac{(4 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9)} - \frac{(2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{(4 x - 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5

以因式分解的形式重写 $\frac{(4 x - 3) (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$ 。

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解题步骤 5.1

使用 FOIL 方法展开 $(4 x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{4 x (x - 3) - 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 (x - 3) - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{4 x^{2} + 4 x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 3 x - 3 \cdot - 3 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{4 x^{2} - 12 x - 3 x + 9 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.2.2

从 $- 12 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - (2 x - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- (2 x) - - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- 2 x - - 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.5

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 + (- 2 x + 3) (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.6

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x + 3) (x^{2} - 9)$ 。

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解题步骤 5.6.1

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x (x^{2} - 9) + 3 (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.6.2

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + 3 (x^{2} - 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.6.3

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.7

化简每一项。

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解题步骤 5.7.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.7.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 (x^{2} x) - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.7.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.7.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.7.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{2 + 1} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.7.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} - 2 x \cdot - 9 + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.7.2

将 $- 9$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 9}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.7.3

将 $3$ 乘以 $- 9$ 。

$\frac{4 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x + 3 x^{2} - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.8

将 $4 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$\frac{7 x^{2} - 15 x + 9 - 2 x^{3} + 18 x - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.9

将 $- 15 x$ 和 $18 x$ 相加。

$\frac{7 x^{2} + 3 x + 9 - 2 x^{3} - 27}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.10

从 $9$ 中减去 $27$ 。

$\frac{7 x^{2} + 3 x - 2 x^{3} - 18}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.11

重新排序项。

$\frac{- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.12

以因式分解的形式重写 $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ 。

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解题步骤 5.12.1

使用有理根检验法因式分解 $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ 。

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解题步骤 5.12.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 5.12.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 18, \pm 9, \pm 2, \pm 4.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 6$

解题步骤 5.12.1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.12.1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$- 2 \cdot 2^{3} + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

解题步骤 5.12.1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 2 \cdot 8 + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

解题步骤 5.12.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$- 16 + 7 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 - 18$

解题步骤 5.12.1.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 16 + 7 \cdot 4 + 3 \cdot 2 - 18$

解题步骤 5.12.1.3.5

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$- 16 + 28 + 3 \cdot 2 - 18$

解题步骤 5.12.1.3.6

将 $- 16$ 和 $28$ 相加。

$12 + 3 \cdot 2 - 18$

解题步骤 5.12.1.3.7

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$12 + 6 - 18$

解题步骤 5.12.1.3.8

将 $12$ 和 $6$ 相加。

$18 - 18$

解题步骤 5.12.1.3.9

从 $18$ 中减去 $18$ 。

$0$

解题步骤 5.12.1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18}{x - 2}$

解题步骤 5.12.1.5

用 $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ 除以 $x - 2$ 。

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解题步骤 5.12.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$18$

解题步骤 5.12.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$

解题步骤 5.12.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			-	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 5.12.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{3} + 4 x^{2}$ 中的所有符号

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 5.12.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

解题步骤 5.12.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 5.12.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 5.12.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$6 x$

解题步骤 5.12.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{2} - 6 x$ 中的所有符号

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$

解题步骤 5.12.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$

解题步骤 5.12.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$

解题步骤 5.12.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $9 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$

解题步骤 5.12.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							+	$9 x$	-	$18$

解题步骤 5.12.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $9 x - 18$ 中的所有符号

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$

解题步骤 5.12.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$2 x^{2}$	+	$3 x$	+	$9$
$x$	-	$2$	-	$2 x^{3}$	+	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
			+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$9 x$	-	$18$
							-	$9 x$	+	$18$
										$0$

解题步骤 5.12.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- 2 x^{2} + 3 x + 9$

解题步骤 5.12.1.6

将 $- 2 x^{3} + 7 x^{2} + 3 x - 18$ 书写为因数的集合。

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.12.2

分组因式分解。

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解题步骤 5.12.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 5.12.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 2 \cdot 9 = - 18$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 5.12.2.1.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + 3 (x) + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.12.2.1.1.2

把 $3$ 重写为 $- 3$ 加 $6$

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} + (- 3 + 6) x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.12.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{(x - 2) (- 2 x^{2} - 3 x + 6 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.12.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.12.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(x - 2) ((- 2 x^{2} - 3 x) + 6 x + 9)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.12.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{(x - 2) (x (- 2 x - 3) - 3 (- 2 x - 3))}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.12.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- 2 x - 3$ 来因式分解多项式。

$\frac{(x - 2) ((- 2 x - 3) (x - 3))}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.12.2.2

去掉多余的括号。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 9)}$

解题步骤 5.13

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x^{2} - 3^{2})}$

解题步骤 5.14

因数。

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解题步骤 5.14.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) ((x + 3) (x - 3))}$

解题步骤 5.14.2

去掉多余的括号。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{(x - 3) (x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 5.15

合并指数。

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解题步骤 5.15.1

对 $x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1} (x - 3) (x + 3)}$

解题步骤 5.15.2

对 $x - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1} {(x - 3)}^{1} (x + 3)}$

解题步骤 5.15.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{1 + 1} (x + 3)}$

解题步骤 5.15.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

解题步骤 5.16

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$ 。

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解题步骤 5.16.1

从 $(x - 2) (- 2 x - 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{{(x - 3)}^{2} (x + 3)}$

解题步骤 5.16.2

从 ${(x - 3)}^{2} (x + 3)$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{(x - 3) ((x - 3) (x + 3))}$

解题步骤 5.16.3

约去公因数。

$\frac{(x - 3) ((x - 2) (- 2 x - 3))}{(x - 3) ((x - 3) (x + 3))}$

解题步骤 5.16.4

重写表达式。

$\frac{(x - 2) (- 2 x - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

解题步骤 6

因数。

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解题步骤 6.1

从 $- 2 x - 3$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x - 2) (- (2 x) - 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

解题步骤 6.1.2

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\frac{(x - 2) (- (2 x) - 1 (3))}{(x - 3) (x + 3)}$

解题步骤 6.1.3

从 $- (2 x) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x - 2) (- (2 x + 3))}{(x - 3) (x + 3)}$

解题步骤 6.2

去掉多余的括号。

$\frac{(x - 2) \cdot - 1 (2 x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

解题步骤 7

提取负因数。

$\frac{- ((x - 2) (2 x + 3))}{(x - 3) (x + 3)}$

解题步骤 8

去掉多余的括号。

$\frac{- (x - 2) (2 x + 3)}{(x - 3) (x + 3)}$

有限数学 示例

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